置換積分により難しい積分でも, 変数の置き換えにより積分可能に, または積分が簡単になることがあります。
式の中の\(x\) を含むある部分を\(t\) に置き換えて, 積分しやすい形にします。
公式は簡素であり, その内容の本質を理解していれば公式を思いだせることでしょう。
また合成関数の微分の逆の演算が置換積分であることも留意して下さい。
うまく置き換えれば積分が簡単になるので, 置換積分は頻繁に用いられます。
まず基本を説明して、次に特異パターンについても紹介します。

注1:積分問題では解を求めたら検算をすることをお勧めします。

1.置換積分(基本)

関数\( f(x) \)について\( x=g(t) \) という関数に対し \( f(g(t)) \) が合成関数です。
関数\(f(x)\)は連続、関数\(g(t)\)は微分可能、導関数\(g'(t)\)は連続とします。
この合成関数の微分を以下のように積分に応用していきます。

\( F(x)=\int f(x)\ dx \) , \( x=g(t)\), \(\ f(x)=f(g(t))\) とします。

下式は合成関数の微分式です。
\(\frac{dF(x)}{dt}=\frac{dF}{dx} \frac{dx}{dt}\)\(=f(x) \frac{dx}{dt}\)\(=f(x)\ g'(t)\) \(=f(g(t))\ g'(t) \)

上式は「Fのtの微分」=「Fをxで微分,そのxをtで微分」= \( \cdots\) のように式変形してく

の式が成り立ちます。

これより、以下の公式が導き出せる。
\(F(x)= \color{red}{ \int f(x)dx} =\int f(x) \frac {dx}{dt} dt \) \( =\int f(g(t)) \frac {dx}{dt} dt =\color{red}{\int f(g(t)) g’(t)dt} \)

公式❶:置換積分の基本公式
\(\int f\scriptsize{(x)}dx= \int f\scriptsize{(g(t))} \underline{\frac {dx}{dt} dt}\) \(=\int f\scriptsize{(g(t))} \underline{g’(t) dt}\)

積分はある曲線ｆで囲まれた面積を示すが, 変数を\(x \to t\) に換えた後も面積が同じになるような調整機能を持つのが \(\frac {dx}{dt}=g'(t)\)です。

さっそく、例題をやりましょう。
例題　

(1)\( \int \underline {x \sqrt {x + 3}} dx \) の不定積分を求めよ。

\( \sqrt {x + 3}=t \) と置換すると、\( x=t^2-3\) \(\small{(=g(t))}\) となります。

ⓐ: \(\small{\sqrt{\ \ }}\) ごと置換できるのは\(x\) が1次の場合です, 通常は\(\small{\sqrt{\ \ }}\) の中身を置換します。
下線部の被積分関数は \( f(g(t))=(t^2-3)t=t^3-3t \)
また、\( \frac {dx}{dt}= g’(t)= 2t \ \)となり, 与式は次のように展開される。
以下は公式通りに式展開をしている。

\( \int （t^2-3）t\ \underline{\frac{dx}{dt}} dt\) \(=\int (t^3-3t)\underline{\ 2t\ }\ dt= \int (2t^4-6t^2) dt \)

（上式は \( \frac {dx}{dt}= g’(t)= 2t \ \) を代入）

\(= \frac {2}{5}\ t^5 \ －\ \frac {6}{3}\ t^3 \) \(= \frac {2}{5}\ (\sqrt {x + 3})^5 \ -\ \frac {6}{3}\ (\sqrt {x + 3})^3 \)
\(= \frac {2}{5}\ (x + 3)^{\frac{5}{2}} \ -\ 2\ (x + 3)^{\frac{3}{2}}+\s{C}\)

別解: 上記ⓐより早く解ける

\(x=t^2-3=g(t)\) \(\ → \frac {dx}{dt}=2t\)\(\ → \underline{ dx=2t\ dt}\) となり, 次のように展開できる。

\(\int (t^3-3t）\ul{dx}\) \(=\int (t^3-3t) \ul{2t dt}=\int (2t^4-6t^2) dt\)

後は上記と同じ
\(=\frac {2}{5}\ t^5 \ －\ \frac {6}{3}\ t^3 \) \(= \frac {2}{5}\ (\sqrt {x + 3})^5 \ -\ \frac {6}{3}\ (\sqrt {x + 3})^3 \)
\(= \frac {2}{5}\ (x + 3)^{\frac{5}{2}} \ -\ 2\ (x + 3)^{\frac{3}{2}}+\s{C} \)

(2)\( \int (3x + 2)^3 \underline{dx} \) の不定積分を求めよ。

前例題の別解と同様の方式で解きます。

前例の「\(x=\cdots\)」と異なり, 今回は「\(t=\cdots\)」の置換であるが, この方が一般的ある。

\( t=3x + 2 \) と置換し \( \frac{dt}{dx}=3 \) \( → \) \(dx= \frac{1}{3}\ dt\) これを与式に代入する。

\( \int (3x + 2)^3 dx = \int t^3\ \underline{dx} \) \(= \int t^3\ \underline{\frac{1}{3}\ dt}\) \(= \frac{1}{3} \int t^3\ dt \)
\(=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}\ t^4\ = \frac{1}{12}\ (3x+2)^4+\s{C} \)

(3)\( \int \frac{1}{e^{-x}-e^{x}}\underline{dx} \) の不定積分を求めよ。

\(e^{x}=t\)と置換し \( \frac{dt}{dx}=e^{x}\)\(\ →\ \)\(dx= \frac{1}{e^{x}}\ dt=\frac{1}{t}\ dt \) これを与式に代入する。
\(e^{x}=t\) \(\ ,\ \) \(e^{-x}=t^{-1}=\frac{1}{t}\)

\(\int \frac{1}{e^{-x}-e^{x}}\underline{dx}\) \(=\int \frac{1}{\frac{1}{t}-t} \underline{\frac{1}{t}\ dt}\) \(=\int \frac{t}{1-t^2} \frac{1}{t}\ dt\) \(=\int \frac{1}{1-t^2}\ dt\)\(=\frac{1}{2} \int (\frac{1}{1+t}-\frac{-1}{1-t})\ dt\)
\(=\frac{1}{2}\small{(log|1+t|-log|1-t|)}\) \(=\frac{1}{2} log |\frac{1+t}{1-t}|\)
\(=\frac{1}{2} log |\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}|+\s{C} \)

2.置換積分/特異パターン(1)

式❶の右辺と左辺を入れ換えた式：
\( \int f(g(t)) g’(t)dt=f(x)dx \)

そして変数 \( x, t \) を入れ換えると、次の公式が導かれる

公式❷:
\( \int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt\)

公式❷ と同じ形で, \( f(g(x))\)の微分\( g'(x)\)がうまく見つけられれば、簡単に答えが導かれます。
例題のように簡単な形の積分にとなります。

例題　

(1)\( \int \underline{2x} \sqrt {\underline{x^2 + 3}} dx \) の不定積分を求めよ。

\(\s{\int f(g(x)) g'(x)dx}\) の形ですね。注:\(\s{g(x)}\)はルートの中の関数です。

与式では\(g'(x)\) と \(f(g(x))\) の順序が違うが、あしからず

\( \int 2x \sqrt{x^2 + 3}\ dx\) \(=\int (x^2)' \sqrt{x^2 + 3}\ dx\)

\(t(=g(x))=x^2+3\)とおき\(\ ,g'(x)=2x \)

\(=\int\sqrt{ t }\ dt \)\(=\int t^{\frac{1}{2}}\ dt \) \( =\frac{2}{3}\ t^{\frac{3}{2}}\)\(= \frac{2}{3} (x^2 + 3)^{\frac{3}{2}} \)

\( = \frac {2}{3} \ (x^2+3) \ \sqrt {x^2+3} +\s{C}\)

❷の公式にあえば\( \ dt = 2x\ dx \)の計算は不要です

このように\( f(g(x))\)の微分\( g'(x)\)がうまく見つけられれば、公式の右辺のように簡単な形の積分になります。

(2)\( \int \frac{(log\ x)^2}{x} dx \) \( (=\int \frac{1}{x} (log\ x)^2 dx ) \) の不定積分を求めよ。

\( \int f(g(x)) g'(x)dx \) の形ですね \( \cdots \frac{1}{x} = (log\ x)' \)　
\(t=log\ x\)とおき\(\ ,g'(x)=\frac{1}{x}\)

\( \int \frac{1}{x} (log\ x)^2 dx\) \(= \int (log\ x)' (log\ x)^2 dx \)\(= \int t^2 dt \) \(= \frac{1}{3}\ t^3 dt\)

\(=\frac{1}{3}\ (log\ x)^3 +\s{C} \)

(3)\( \int 2x e^{{x}^2} dx \)の不定積分を求めよ。

\(\int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt \small{:❷}\) の形, また\(t=x^2\)とおく。

【解法1】上記(1)(2)と同様,公式❷を使います

\( \int 2x e^{{x}^2} dx \)\(= \int (x^2)' e^{{x}^2} dx \)\(=\int e^t dt\) \(=e^t\)
\(=e^{{x}^2} +\s{C}\)

被積分関数が公式の形をしていれば、直接、公式の右辺の式にして計算できるというわけです。

【解法2】基本公式❶を使う方法

\(t=x^2\)
\( \frac{dt}{dx}=2x\) \(,\ dx=\underline{\frac{1}{2x}dt}\)

\( \int \underline{2x} e^{{x}^2} \underline{dx} \) \( \int \underline{2x} e^{{x}^2} \underline{\frac{1}{2x}dt} \) \(= \int e^{t} dt \)\(= e^{t}\)
\(=e^{{x}^2} +\s{C}\)

解法のどちらを使うか自由ですが、【解法1】のほうが早い。

(4)\( \int cos^3x dx \)の不定積分を求めよ。

\(\int cos^3x dx = \int (cos^2x \cdot cos x)dx\) \(= \int (1-sin^2x) cos\ x dx \) \(=\int cos\ x\ dx - \underline{ \int sin^2x\ (sin\ x)' dx} \)

下線部を積分する→公式❷を使う:

\(\scriptsize{\int f(g(x)) g’(x)dx= f(t)dt\ :❷}\)
\(t=sin\ x (=g(x)) \) \(,\ g'(x)=cos\ x \) \(,\ f(g(x))=f(t)=t^2\)

\(=sin\ x - \int t^2 dt \) \(=six\ x - \int t^2 dt \) \(=sin\ x-\frac{1}{3} t^3 \)

\(=sin\ x-\frac{1}{3} sin^3 x +\s{C}\)
☞ さらなる3角関数の置換積分【参照先】

3.置換積分/特異パターン(2)

例えば \( \int \frac {e^x}{e^x+1} dx \) と \(\int \frac{2x}{x^2+1} dx\) の積分は以下の関数を微分したものです。

分母の関数を\(f(x)\) とすると上式は \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) の式…その積分は以下です。

\( log \ (e^x+1)\) \(と\) \( log \ (x^2+1)\)

ここで対数微分の式を思い出して下さい。
上式は関数「log」と関数「f(x)」の合成関数です,その微分は:
\(\ul{\frac{d}{dx} |log f(x))|}\) \(= \frac{dx}{df}\ \frac{df}{dx}\) \(=\frac{1}{f(x)}\ f'(x)\) \(=\sc{ \ul{ \dsfr{f'(x)}{f(x)}} } \)
この微分式の「左辺と右辺を」替えて、「\( \int \)」でくくれば以下の公式❸が得られます。(覚えやすい式です)
この導出方法は公式は先の公式❷からも導出できます。

\( \int f(g(x)) g’(x)dx=\int f(t)dt \ \sc{公式❷} \)
\(f(x)=t\)とおいて \(\int \frac{1}{f(x)}\ f'(x)dx\)\(=\int \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx\)\(=\int \frac{1}{t}\)\(=log|t|\)\(=log|f(x)|\)
これを微分すれば式❸ が求まります。

公式❸：
\(\sc{\dsi} \frac{ f'(x)}{f(x)}dx\)\(=log |f \s{(x)} | \)

例題　

(1) \( \int \frac {1}{x\ log\ x}\ dx \) の不定積分を求めよ。

\( \int \frac {1}{x\ log\ x}\ dx \) \(=\int \frac{1}{ log\ x} \frac {1}{x} dx\) \(= \int \frac {1}{ log\ x}\ (log\ x)'dx\) \(=\ul{ \int \frac {(log\ x)'}{ log\ x} } \)

\(= log\ |log x|+\s{C} \)

馴れると下線が直接分かり, 直ちに解が判ります。

別解法（公式❶を使う）

\(\int f \sc{(x)}dx\)\(=\int f \sc{(g(t))} g’(t) dt\ \sc{:❶}\)

\( t=g(x)=log\ x \) とおくと \(\frac {dt}{dx}= \frac{1}{x} \) \(\quad \therefore dx=x dt \)

\( \int \frac {1}{x\ log\ x}\ dx \) \(= \int \frac {1}{x} \frac{1}{ log\ x} dx\) \(= \int \frac {1}{x} \frac{1}{t} x dt \) \(= \int \frac{1}{t} dt\)\(= log |t|\)

\(= log |log\ x|+\s{C} \)

(2) \( \int \frac {3x+1}{(x^3+x+1)} dx \) の不定積分を求めよ。

\((x^3+x+1)'=3x+1\) だから\(f=x^3+x+1\) として

与式\(=\frac{f'}{f}=log|f|=log|x^3+x+1|+\s{C}\)

別解法（公式❶を使う）

\( x^3+x+1=t \) とおくと \(　\frac {dt}{dx}= 3x+1 \) \( \quad \therefore dx=\frac{1}{3x+1} dt \)

\( \int \frac {3x+1}{(x^3+x+1)} dx\)\(= \int \frac{3x+1}{t} dx\) \(=\frac{3x+1}{t} \frac{1}{3x+1} dt \) \( =\int \frac {1}{t} dt\)\(=log\ |t|\)
\(=log\ |x^3+x+1|+\s{C} \)

いかがでしたか、置換積分のポイントとして、被積分関数\( f(g(x))\)の中に微分\( g'(x)　\)があるかどうかを見る。
あれば置換積分の特異パターン(1),(2)が使える。
また置換積分では被積分関数\( f(g(x))\)のなかのどの部分を「t」と置くかがポイントとなります。
無理関数の積分では \(\scriptsize{\sqrt{\quad }}\) の中を \(t\) とおくとうまくいくことが多い。
（t の置き換えが１通りでないので数多く問題をこなして慣れることですね！）

[コーヒーブレイク/閑話］…お疲れさまでした

試験の時（学生の方）、時間が短く感じますよね。　早く解くのも重要…、余裕ができますからね。
そんなときに「置換積分により解きなさい」と指定されていれば、まず上記の特異パターンのなのか否か、もしそのパターンであれば早く解けますね！
あとは被積分関数のどこを置換するのかですね。　無理関数であればルートの中を置換するとうまく解ける場合が多い。